3.41 \(\int \frac{\tanh (x)}{(a+b \coth ^2(x))^{3/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=78 \[ -\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \coth ^2(x)}}{\sqrt{a}}\right )}{a^{3/2}}+\frac{b}{a (a+b) \sqrt{a+b \coth ^2(x)}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \coth ^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )}{(a+b)^{3/2}} \]

[Out]

-(ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a]]/a^(3/2)) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(3/2) +
b/(a*(a + b)*Sqrt[a + b*Coth[x]^2])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.145757, antiderivative size = 78, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 6, integrand size = 15, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.4, Rules used = {3670, 446, 85, 156, 63, 208} \[ -\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \coth ^2(x)}}{\sqrt{a}}\right )}{a^{3/2}}+\frac{b}{a (a+b) \sqrt{a+b \coth ^2(x)}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \coth ^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )}{(a+b)^{3/2}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Tanh[x]/(a + b*Coth[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

-(ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a]]/a^(3/2)) + ArcTanh[Sqrt[a + b*Coth[x]^2]/Sqrt[a + b]]/(a + b)^(3/2) +
b/(a*(a + b)*Sqrt[a + b*Coth[x]^2])

Rule 3670

Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
:> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(((d*ff*x)/c)^m*(a + b*(ff*x)^n)^p)/(c^
2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ
[n, 2] || EqQ[n, 4] || (IntegerQ[p] && RationalQ[n]))

Rule 446

Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int
[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*x)^p*(c + d*x)^q, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p, q}, x] &&
NeQ[b*c - a*d, 0] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

Rule 85

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))), x_Symbol] :> Simp[(f*(e + f*x)^(p +
1))/((p + 1)*(b*e - a*f)*(d*e - c*f)), x] + Dist[1/((b*e - a*f)*(d*e - c*f)), Int[((b*d*e - b*c*f - a*d*f - b
*d*f*x)*(e + f*x)^(p + 1))/((a + b*x)*(c + d*x)), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && LtQ[p, -1]

Rule 156

Int[(((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_)*((g_.) + (h_.)*(x_)))/(((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))), x_Symbol] :>
Dist[(b*g - a*h)/(b*c - a*d), Int[(e + f*x)^p/(a + b*x), x], x] - Dist[(d*g - c*h)/(b*c - a*d), Int[(e + f*x)
^p/(c + d*x), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, h}, x]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\tanh (x)}{\left (a+b \coth ^2(x)\right )^{3/2}} \, dx &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x \left (1-x^2\right ) \left (a+b x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\coth (x)\right )\\ &=\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(1-x) x (a+b x)^{3/2}} \, dx,x,\coth ^2(x)\right )\\ &=\frac{b}{a (a+b) \sqrt{a+b \coth ^2(x)}}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{-a-b+b x}{(1-x) x \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\coth ^2(x)\right )}{2 a (a+b)}\\ &=\frac{b}{a (a+b) \sqrt{a+b \coth ^2(x)}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\coth ^2(x)\right )}{2 a}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(1-x) \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\coth ^2(x)\right )}{2 (a+b)}\\ &=\frac{b}{a (a+b) \sqrt{a+b \coth ^2(x)}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-\frac{a}{b}+\frac{x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \coth ^2(x)}\right )}{a b}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1+\frac{a}{b}-\frac{x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \coth ^2(x)}\right )}{b (a+b)}\\ &=-\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \coth ^2(x)}}{\sqrt{a}}\right )}{a^{3/2}}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \coth ^2(x)}}{\sqrt{a+b}}\right )}{(a+b)^{3/2}}+\frac{b}{a (a+b) \sqrt{a+b \coth ^2(x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 0.0565111, size = 70, normalized size = 0.9 \[ \frac{(a+b) \, _2F_1\left (-\frac{1}{2},1;\frac{1}{2};\frac{b \coth ^2(x)}{a}+1\right )-a \, _2F_1\left (-\frac{1}{2},1;\frac{1}{2};\frac{b \coth ^2(x)+a}{a+b}\right )}{a (a+b) \sqrt{a+b \coth ^2(x)}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Tanh[x]/(a + b*Coth[x]^2)^(3/2),x]

[Out]

(-(a*Hypergeometric2F1[-1/2, 1, 1/2, (a + b*Coth[x]^2)/(a + b)]) + (a + b)*Hypergeometric2F1[-1/2, 1, 1/2, 1 +
(b*Coth[x]^2)/a])/(a*(a + b)*Sqrt[a + b*Coth[x]^2])

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.171, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\tanh \left ( x \right ) \left ( a+b \left ({\rm coth} \left (x\right ) \right ) ^{2} \right ) ^{-{\frac{3}{2}}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(tanh(x)/(a+b*coth(x)^2)^(3/2),x)

[Out]

int(tanh(x)/(a+b*coth(x)^2)^(3/2),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\tanh \left (x\right )}{{\left (b \coth \left (x\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)/(a+b*coth(x)^2)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(tanh(x)/(b*coth(x)^2 + a)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 6.32396, size = 18423, normalized size = 236.19 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)/(a+b*coth(x)^2)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + a^2*b)*sinh(x)^4 + a^3 + a^2*b - 2
*(a^3 - a^2*b)*cosh(x)^2 - 2*(a^3 - a^2*b - 3*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3
- (a^3 - a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*log(-((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^8 + 8*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)*sinh(x)^
7 + (a^3 + a^2*b)*sinh(x)^8 - 2*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^6 - 2*(2*a^3 + a^2*b - 14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)*sin
h(x)^6 + 4*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 - 3*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3
)*cosh(x)^4 + (70*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3 - 30*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh
(x)^4 + 4*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^5 - 10*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)
)*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 - 2*(2*a^3 + 3*a^2*b - b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x
)^6 - 15*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 - 2*a^3 - 3*a^2*b + b^3 + 3*(6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh
(x)^2 + sqrt(2)*(a^2*cosh(x)^6 + 6*a^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + a^2*sinh(x)^6 - 3*a^2*cosh(x)^4 + 3*(5*a^2*cosh(x)^
2 - a^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*a^2*cosh(x)^3 - 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2)*cosh(x)^2 + (15*a^2
*cosh(x)^4 - 18*a^2*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 2*a*b - b^2)*sinh(x)^2 - a^2 - 2*a*b - b^2 + 2*(3*a^2*cosh(x)^5 - 6*a^
2*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2
- a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^7 - 3*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(
x)^5 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - (2*a^3 + 3*a^2*b - b^3)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*co
sh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)
^5 + sinh(x)^6)) + 2*((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)*si
nh(x)^3 + (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*sinh(x)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 - 2*(a^3 + a^2*b - a*b^2 -
b^3)*cosh(x)^2 - 2*(a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3 - 3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((
a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - (a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*log(-((2*a +
b)*cosh(x)^4 + 4*(2*a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (2*a + b)*sinh(x)^4 - 2*(2*a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a + b)*co
sh(x)^2 - 2*a + b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(a)*sqrt(((a + b)
*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((2*a + b)*cosh(x)^3
- (2*a - b)*cosh(x))*sinh(x) + 2*a + b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sin
h(x)^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) + ((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^3 + a^2*b)*cosh
(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + a^2*b)*sinh(x)^4 + a^3 + a^2*b - 2*(a^3 - a^2*b)*cosh(x)^2 - 2*(a^3 - a^2*b - 3*(a^3 +
a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 - (a^3 - a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*log(((a
+ b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*b*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + b
)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a
+ b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a + b)*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh
(x) + a + b)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) - 4*sqrt(2)*(a^2*b + a*b^2 - (a^2*b + a*b^2)*cosh(x)
^2 - 2*(a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x) - (a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^2)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^
2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3 + (a^5 + 3*a^4*b
+ 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(x)^4 + 4*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^5 + 3*a^4*b
+ 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*sinh(x)^4 - 2*(a^5 + a^4*b - a^3*b^2 - a^2*b^3)*cosh(x)^2 - 2*(a^5 + a^4*b - a^3*b^2 -
a^2*b^3 - 3*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*
b^3)*cosh(x)^3 - (a^5 + a^4*b - a^3*b^2 - a^2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)), 1/4*(4*((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*
cosh(x)^4 + 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*sinh(x)^4 +
a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 - 2*(a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3)*cosh(x)^2 - 2*(a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3 - 3*(a^
3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - (a^3 + a^2*
b - a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqr
t(-a)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a +
b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 - 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2
- a + b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) + ((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 4*
(a^3 + a^2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + a^2*b)*sinh(x)^4 + a^3 + a^2*b - 2*(a^3 - a^2*b)*cosh(x)^2 - 2*(a^3 -
a^2*b - 3*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 - (a^3 - a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))*s
qrt(a + b)*log(-((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^8 + 8*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^3 + a^2*b)*sinh(x)^8 - 2*(2*
a^3 + a^2*b)*cosh(x)^6 - 2*(2*a^3 + a^2*b - 14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 4*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x
)^3 - 3*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x))*sinh(x)^5 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + (70*(a^3 + a^2*b)*cos
h(x)^4 + 6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3 - 30*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + 4*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)
^5 - 10*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b
^2 + b^3 - 2*(2*a^3 + 3*a^2*b - b^3)*cosh(x)^2 + 2*(14*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^6 - 15*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4
- 2*a^3 - 3*a^2*b + b^3 + 3*(6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(a^2*cosh(x)^6 + 6*
a^2*cosh(x)*sinh(x)^5 + a^2*sinh(x)^6 - 3*a^2*cosh(x)^4 + 3*(5*a^2*cosh(x)^2 - a^2)*sinh(x)^4 + 4*(5*a^2*cosh(
x)^3 - 3*a^2*cosh(x))*sinh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2)*cosh(x)^2 + (15*a^2*cosh(x)^4 - 18*a^2*cosh(x)^2 + 3*a
^2 + 2*a*b - b^2)*sinh(x)^2 - a^2 - 2*a*b - b^2 + 2*(3*a^2*cosh(x)^5 - 6*a^2*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b - b^2)
*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sin
h(x) + sinh(x)^2)) + 4*(2*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^7 - 3*(2*a^3 + a^2*b)*cosh(x)^5 + (6*a^3 + 4*a^2*b - a*b^2 + b
^3)*cosh(x)^3 - (2*a^3 + 3*a^2*b - b^3)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^6 + 6*cosh(x)^5*sinh(x) + 15*cosh(x)^4*sinh
(x)^2 + 20*cosh(x)^3*sinh(x)^3 + 15*cosh(x)^2*sinh(x)^4 + 6*cosh(x)*sinh(x)^5 + sinh(x)^6)) + ((a^3 + a^2*b)*c
osh(x)^4 + 4*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + a^2*b)*sinh(x)^4 + a^3 + a^2*b - 2*(a^3 - a^2*b)*cosh(x)
^2 - 2*(a^3 - a^2*b - 3*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 - (a^3 - a^2*b)*cosh(x
))*sinh(x))*sqrt(a + b)*log(((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 + 2*b*cosh(x)
^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 + b)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(a +
b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((a +
b)*cosh(x)^3 + b*cosh(x))*sinh(x) + a + b)/(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) - 4*sqrt(2)*(a^2*b +
a*b^2 - (a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2 - 2*(a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x) - (a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^2)*sqrt(((a +
b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3
*b^2 + a^2*b^3 + (a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(x)^4 + 4*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cos
h(x)*sinh(x)^3 + (a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*sinh(x)^4 - 2*(a^5 + a^4*b - a^3*b^2 - a^2*b^3)*cosh(x)
^2 - 2*(a^5 + a^4*b - a^3*b^2 - a^2*b^3 - 3*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a
^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(x)^3 - (a^5 + a^4*b - a^3*b^2 - a^2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)), -1/2*(((a
^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + a^2*b)*sinh(x)^4 + a^3 + a^2*b - 2*(a^3 - a
^2*b)*cosh(x)^2 - 2*(a^3 - a^2*b - 3*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 - (a^3 -
a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 - a - b)
*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)
)/((a^2 + a*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^2 + a*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^2 + a*b)*sinh(x)^4 - (2*a^2 + a*b - b^2)*cosh(
x)^2 + (6*(a^2 + a*b)*cosh(x)^2 - 2*a^2 - a*b + b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(2*(a^2 + a*b)*cosh(x)^
3 - (2*a^2 + a*b - b^2)*cosh(x))*sinh(x))) + ((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a
^3 + a^2*b)*sinh(x)^4 + a^3 + a^2*b - 2*(a^3 - a^2*b)*cosh(x)^2 - 2*(a^3 - a^2*b - 3*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)*
sinh(x)^2 + 4*((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 - (a^3 - a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^
2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 + 1)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh
(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 -
2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 - a + b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - (a - b)*cosh(x))*sin
h(x) + a + b)) - ((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^4 + 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x
)^3 + (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*sinh(x)^4 + a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 - 2*(a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3
)*cosh(x)^2 - 2*(a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3 - 3*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3
+ 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - (a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a)*log(-((2*a + b)*c
osh(x)^4 + 4*(2*a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (2*a + b)*sinh(x)^4 - 2*(2*a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(2*a + b)*cosh(x
)^2 - 2*a + b)*sinh(x)^2 - 2*sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt(a)*sqrt(((a + b)*cos
h(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)) + 4*((2*a + b)*cosh(x)^3 - (2
*a - b)*cosh(x))*sinh(x) + 2*a + b)/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4 + 2*(3*cosh(x)^2 + 1)*sinh(x)
^2 + 2*cosh(x)^2 + 4*(cosh(x)^3 + cosh(x))*sinh(x) + 1)) + 2*sqrt(2)*(a^2*b + a*b^2 - (a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^
2 - 2*(a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x) - (a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^2)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2
- a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3 + (a^5 + 3*a^4*b
+ 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(x)^4 + 4*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^5 + 3*a^4*b
+ 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*sinh(x)^4 - 2*(a^5 + a^4*b - a^3*b^2 - a^2*b^3)*cosh(x)^2 - 2*(a^5 + a^4*b - a^3*b^2 -
a^2*b^3 - 3*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b
^3)*cosh(x)^3 - (a^5 + a^4*b - a^3*b^2 - a^2*b^3)*cosh(x))*sinh(x)), 1/2*(2*((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*c
osh(x)^4 + 4*(a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*sinh(x)^4 + a
^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3 - 2*(a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3)*cosh(x)^2 - 2*(a^3 + a^2*b - a*b^2 - b^3 - 3*(a^3
+ 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3)*cosh(x)^3 - (a^3 + a^2*b
- a*b^2 - b^3)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2 - 1)*sqrt
(-a)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a + b
)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 - 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 -
a + b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) - ((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 4*(
a^3 + a^2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + a^2*b)*sinh(x)^4 + a^3 + a^2*b - 2*(a^3 - a^2*b)*cosh(x)^2 - 2*(a^3 -
a^2*b - 3*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^3 - (a^3 - a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))*sq
rt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(a*cosh(x)^2 + 2*a*cosh(x)*sinh(x) + a*sinh(x)^2 - a - b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)
*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2))/((a^2 + a*b)*cosh(x)^4 +
4*(a^2 + a*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^2 + a*b)*sinh(x)^4 - (2*a^2 + a*b - b^2)*cosh(x)^2 + (6*(a^2 + a*b)*cosh(
x)^2 - 2*a^2 - a*b + b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 2*(2*(a^2 + a*b)*cosh(x)^3 - (2*a^2 + a*b - b^2)*cos
h(x))*sinh(x))) - ((a^3 + a^2*b)*cosh(x)^4 + 4*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^3 + a^2*b)*sinh(x)^4 + a^3
+ a^2*b - 2*(a^3 - a^2*b)*cosh(x)^2 - 2*(a^3 - a^2*b - 3*(a^3 + a^2*b)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 4*((a^3 + a^2*b
)*cosh(x)^3 - (a^3 - a^2*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(x)^2 + 2*cosh(x)*sinh(x) + sin
h(x)^2 + 1)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) +
sinh(x)^2))/((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 - 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3
*(a + b)*cosh(x)^2 - a + b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)) - 2*sqrt(2)*
(a^2*b + a*b^2 - (a^2*b + a*b^2)*cosh(x)^2 - 2*(a^2*b + a*b^2)*cosh(x)*sinh(x) - (a^2*b + a*b^2)*sinh(x)^2)*sq
rt(((a + b)*cosh(x)^2 + (a + b)*sinh(x)^2 - a + b)/(cosh(x)^2 - 2*cosh(x)*sinh(x) + sinh(x)^2)))/(a^5 + 3*a^4*
b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3 + (a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(x)^4 + 4*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2
*b^3)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*sinh(x)^4 - 2*(a^5 + a^4*b - a^3*b^2 - a^2*b^3
)*cosh(x)^2 - 2*(a^5 + a^4*b - a^3*b^2 - a^2*b^3 - 3*(a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^
2 + 4*((a^5 + 3*a^4*b + 3*a^3*b^2 + a^2*b^3)*cosh(x)^3 - (a^5 + a^4*b - a^3*b^2 - a^2*b^3)*cosh(x))*sinh(x))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\tanh{\left (x \right )}}{\left (a + b \coth ^{2}{\left (x \right )}\right )^{\frac{3}{2}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)/(a+b*coth(x)**2)**(3/2),x)

[Out]

Integral(tanh(x)/(a + b*coth(x)**2)**(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: TypeError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(tanh(x)/(a+b*coth(x)^2)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: TypeError